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Bertrand Russell

Teoría de B. Russell, construida entre 1906 y 1908, y que formula en el Apéndice B de sus Principia Mathematica, para salir al paso de las dificultades planteadas por las paradojas semánticas, en especial la misma paradoja de Russell sobre «la clase de todas las clases que no son miembros de sí mismas», paradigma de paradojas, que descubre al averiguar que la noción de clase es en sí problemática. Si una clase es una entidad y, por serlo, se incluye en el conjunto de todas las cosas, caemos en contradicciones: si una clase es una «cosa», «se llega a la conclusión de que existen más clases de cosas que cosas» (ver ejemplo); por ello, las clases no son «cosas», sino sólo una expresión, que puede emplearse correctamente o incorrectamente: una función proposicional (ver texto).

La noción incorrecta de clase se pone de manifiesto cuando se analiza la noción de pertenencia a la clase. Las clases por lo común no son miembros de sí mismas: la clase de las cucharillas no es una cucharilla, la clase de los hombres no es un hombre (ver texto ); pero la clase de las cosas que no son una cucharilla no es tampoco una cucharilla y la clase de todas las clases es también una clase. Hay clases, pues, que son miembros de sí mismas y clases que no son miembros de sí mismas; y al considerar si la clase de todas las clases que no son miembros de sí mismas es o no miembro de sí misma, aparece la contradicción de la noción de clases en toda su evidencia: si lo es, no lo es y si no lo es, lo es (ver paradoja de Russell).

Al intentar hallar solución a este conflicto, que, a decir de Frege, ponía en peligro todos los fundamentos de la matemática (ver texto 1 y texto 2), Russell crea su teoría de tipos, que en su forma más sencilla afirma que una clase es una función proposicional, cuyo significado depende del dominio de objetos que la hacen verdadera, con el explícitamente formulado principio del círculo vicioso, que prohíbe considerar la totalidad de una colección como formando parte de la misma colección. Hay tipos de clases, esto es, clases cuyos miembros son individuos, clases cuyos miembros son clases de individuos, clases cuyos miembros son clases de clases de individuos, etc., igual como existen individuos u objetos, propiedades de individuos y propiedades de propiedades de individuos, y así sucesivamente. Pero ninguna clase puede ser miembro de sí misma, y, por igual razón, la totalidad de elementos no es ella misma un elemento, sino una clase de tipo superior. No existe una «clase todas las clases», sino simplemente una clase de tipo o nivel superior al resto de tipos de clase

A posteriores dificultades que surgieron en la interpretación de las clases como funciones proposicionales, Russell procuró responder con su teoría ramificada de los tipos. La teoría ramificada de los tipos (construida para solucionar las paradojas semánticas, por ejemplo, la del mentiroso) añade a la denominada teoría simple de tipos la noción de distinción de órdenes o jerarquías de predicados, dentro del mismo tipo. La teoría simple de tipos prohíbe que una propiedad se aplique a sí misma y establece una jerarquía de niveles o tipos; la teoría ramificada establece distintos órdenes dentro del mismo tipo lógico y prohíbe que un predicado general se aplique con igual sentido a distintos órdenes.

Según esta teoría, no se permiten otras expresiones sobre clases que aquellas que nombran clases cuyos miembros son de un orden inmediatamente inferior a la clase a que pertenecen. Así, no existe una clase cuyos miembros sean clases y, por lo mismo, los miembros de una clase (de individuos) no son sino individuos, y en modo alguno clases. Pero existe la familia de clases cuyos miembros son clases.

La teoría, al distinguir distintos niveles de tipos de predicado, permite evitar las contradicciones de determinadas paradojas. Al decir «la clase de las clases cuyos miembros no son miembros de sí mismas es miembro de sí misma» no hacemos sino construir mal una frase, que no resulta ni verdadera ni falsa, sino una frase sin sentido. De modo que, por ejemplo, hay entidades heterológicas, pero de ellas no podemos cuestionarnos si son o no son ellas mismas «heterológicas»: lo que decimos o negamos, como propiedad, de las entidades o cosas no puede ser afirmado o negado de la misma propiedad.

La teoría de tipos de Russell reafirma la idea de que no es posible contemplar todos los objetos como pertenecientes a un mismo nivel de realidad (lingüística, por lo menos), pero experimentó dificultades en el terreno de las matemáticas y, por lo demás, tampoco se ha probado como un elemento necesario de todo lenguaje, formal u ordinario, para resolver los problemas de la autorreferencia.

La nueva noción de clase le permitió a Russell terminar la redacción interrumpida de los Principia Mathematica, pero la teoría de tipos no ha sido considerada necesaria para resolver paradojas sobre clases ni toda clase de autorreferencia ha sido considerada viciosa.