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Una de las más famosas paradojas de la historia del pensamiento, que mantiene semejanzas y relación con la paradojas del mentiroso y la paradoja del barbero, y con la que Russell provocó la crisis de la teoría de las clases y, con ella, la llamada «crisis de los fundamentos» de las matemáticas (ver filosofía de las matemáticas), al poner de manifiesto la inconsistencia de la teoría («intuitiva») de conjuntos y de clases de Cantor y Frege (ver texto ). Hay clases que son miembros de sí mismas (que se tienen a sí mismas como elementos o miembros); así, por ejemplo, la clase de «todas las clases» es también una clase, pero hay otras clases que no son miembros de sí mismas como, por ejemplo, la clase de «los días de la semana» que no es ella misma un día de la semana. ¿Qué sucede, en general, con la clase de todas las clases que no son miembros de sí mismas? ¿Es esta clase miembro de sí misma? Si es miembro de sí misma, no es miembro de sí misma. Si no es miembro de sí misma, es miembro de sí misma. Esta paradoja parece que puede resolverse como el dilema del barbero; parece que no puede existir tal clase, como parece que no puede existir un barbero contradictorio (que se afeita a sí mismo si y sólo si no se afeita a sí mismo). En realidad, lo que pone de manifiesto es que la noción misma de clase, definida como conjunto de elementos que satisfacen una misma condición de pertenencia, no es correcta o no es aplicable sin más a la noción de conjunto (a la noción «intuitiva» de conjunto). Para solucionar esta antinomia o paradoja sobre el conjunto de todos los conjuntos y otras relacionadas, Russell desarrolló la teoría de tipos (ver texto ).