Resultaba que, de premisas que todos los lógicos, no importa de qué escuela, habían aceptado siempre, desde los tiempos de Aristóteles, podían deducirse contradicciones, demostrándose con ello que algo estaba fuera de lugar, pero sin hacer indicación de cómo podían enderezarse las cosas. Fue el descubrimiento de una de tales contradicciones lo que puso fin, en la primavera de 1901, a la luna de miel lógica que había venido disfrutando. Comuniqué la desgracia a Whitehead, que no pudo consolarme citando «nunca de nuevo una mañana alegre y confiada».
Llegué a esta contradicción al considerar la prueba de Cantor de que no existe un número cardinal mayor que todos. Yo pensaba, en mi inocencia, que el número de todas las cosas que existen en el universo debe ser el número más grande posible, y apliqué su prueba a este número para ver qué ocurría. Esta operación me llevó a considerar una clase muy peculiar. Pensando dentro de la línea que hasta entonces había parecido adecuada, me parecía que una clase es a veces, y a veces no es, miembro de sí misma. La clase de las cucharillas, por ejemplo, no es otra cucharilla, pero la clase de las cosas que no son cucharillas sí que es una de las cosas que no son cucharillas. Parecía haber ejemplos que no eran negativos; por ejemplo, la clase de todas las clases es una clase. La aplicación del argumento de Cantor me llevó a considerar las clases que no son miembros de sí mismas; y éstas, al parecer, deben formar una clase. Me pregunté si esta clase es un miembro de sí misma o no. Si es un miembro de sí misma, debe poseer la propiedad definitoria de la clase, que es no ser miembro de sí misma. Si no es miembro de sí misma, no debe poseer la propiedad definitoria de la clase y por tanto debe ser miembro de sí misma. Así, cada alternativa conduce a la contraria, y hay una contradicción.
Al principio pensé que debía de haber algún error trivial en mi razonamiento. Examiné cada paso bajo un microscopio lógico, pero no pude descubrir nada incorrecto. Escribí a Frege acerca de ello, y me replicó que la aritmética se tambaleaba y que ahora veía que su ley V era falsa. Frege quedó tan desasosegado por esta contradicción que dio de lado el intento de deducir la aritmética de la lógica, al cual, hasta entonces, había dedicado principalmente su vida. Como los pitagóricos cuando tropezaron con los inconmensurables, buscó refugio en la geometría y al parecer consideró que el trabajo de su vida hasta aquel momento había estado mal orientado. Por mi parte, me di cuenta de que la dificultad residía en la lógica más que en las matemáticas, y era la lógica lo que había de reformarse.
| La evolución de mi pensamiento filosófico, Alianza, Madrid 1982, 2ª ed., p. 76-78. |