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Sistema deductivo formado por un grupo de enunciados llamados axiomas que, debidamente formalizados y definidos, permiten deducir, mediante reglas de inferencia precisas, el conjunto de enunciados, llamados teoremas, que pertenecen al sistema. En la antigüedad, elaboraron teorías axiomáticas Euclides en geometría y Arquímedes en física. La mecánica clásica de Newton está también formulada mediante axiomas. Modernamente, se ha procedido a la axiomatización de las matemáticas, sobre todo desde el s. XIX, cuando, a partir por un lado de la aparición de diversas geometrías no euclídeas -como una consecuencia, precisamente, del estudio de la independencia del postulado de las paralela de Euclides- y, por el otro, de la crisis de los fundamentos de la matemática ( ver filosofía de las matemáticas), se intenta un mayor rigor en la teoría matemática.
Por esto, los primeros sistemas axiomáticos se aplicaron al estudio de las matemáticas. La matemática se concibe desde entonces como una ciencia deductiva puramente formal y se distingue entre la matemática teórica (propiamente, un sistema deductivo axiomatizado) y la matemática aplicada (aquella de la que es posible dar una interpretación real en el mundo), con lo que su interés no reside tanto en la verdad de su contenido material, como en su aspecto deductivo. El matemático alemán, D. Hilbert, en Fundamentos de geometría (1899), axiomatiza la geometría euclidiana, y Peano hace lo mismo con la aritmética. A Hilbert se debe, además, el estudio de las propiedades formales de los sistemas axiomáticos, o axiomática, que establece en la consistencia interna de los axiomas y en su independencia sus características fundamentales. Los axiomas de una teoría son consistentes, o no- contradictorios, si permiten deducir la verdad de un enunciado, pero no su negación. Los axiomas son, además, independientes, si ninguno de elloses deducible del resto de axiomas como un teorema. En ningún caso se exige que los axiomas sean evidentes.
La primera cualidad es absolutamente necesaria para la coherencia lógica de un sistema axiomático; la segunda, aunque deseable, en caso de no poseerse significa sólo redundancia de axiomas.
Los axiomas, en una teoría axiomatizada, no son más que símbolos; carecen de todo contenido y en sí no son ni verdaderos ni falsos; son sólo esquemas de enunciados. Pueden, no obstante, recibir una interpretación, refiriéndolos a un universo de objetos, y entonces pasan a ser enunciados verdaderos o falsos. Si una interpretación hace verdadero para cualquier caso al conjunto de axiomas, tal interpretación es un modelo de la teoría. El espacio llamado euclídeo, por ejemplo, el de nuestra experiencia sensorial, es una interpretación que hace verdadera y consistente la geometría euclídea. Ésta habla sólo de símbolos, puntos, rectas, ángulos, etc., pero aplicados al espacio definen su estructura. El conjunto de enunciados del sistema espacial es un modelo de la teoría axiomática de Euclides (ver texto ).
Frege, Russell y Whitehead son los constructores de los primeros [#sistemaaxiomatico sistemas axiomáticos] de lógica (ver ejemplo). Estos dos últimos exponen, en Principia Mathematica, una axiomatización del cálculo de lógica de enunciados.
Un sistema axiomático requiere:
0. Una lógica básica (subyacente a toda teoría)
1. Términos primitivos (términos lógicos o no, necesarios para construir definiciones)
2. Términos definidos
3. Axiomas o postulados del sistema
4. Reglas de inferencia (para la deducción)
5. Teoremas del sistema.