¿Qué es?
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Regla de inferencia que se basa en suponer que es verdad la negación de la conclusión, para mostrar que de ello se deriva una contradicción. La manera concreta de realizar la prueba consiste en añadir a las premisas la negación de la posible conclusión para llegar a la deducción de una expresión contradictoria; se deduce que es verdadera la conclusión no negada.
Sabemos que para demostrar un teorema
[1] [math]P\Longrightarrow{Q}[/math]
basta probar que la proposición condicional
[2] [math]P\rightarrow{Q}[/math]
es una tautología. Pero como, por otra parte, la proposición condicional
[3] [math](P\wedge ¬Q) \rightarrow{(R \wedge ¬R)}[/math]
(donde R es una proposición cualquiera), es equivalente a la [2], como se puede probar fácilmente con la construcción de la tabla de verdad adecuada; podremos sustituir la demostración del teorema [1] por la correspondiente prueba de que el condicional [3] es una tautología.
Ahora bien, como [math](R\wedge ¬R)[/math] es un absurdo, o sea falso; para que [3] sea una tautología tendrá que ser [math](P\wedge ¬Q)[/math] falso, y como que [math]P[/math] es verdad, por ser premisa del teorema [1], [math]¬Q[/math] tendá que ser falso y, por tanto, [math]Q[/math] verdad, como se quería demostrar.
De lo anterior podemos concluir que la demostración del teorema [1] puede ser sustituida por la del
[math](P\wedge ¬Q) \longrightarrow{(R\wedge ¬R)}[/math]
y que, por tanto : Si usando como premisas la hipótesis y la negación de la tesis del teorema, llegáramos a una conclusión absurda o contradictoria, podremos dar por demostrado el teorema.
Este tipo de demostración recibe el nombre de demostración por reducción al absurdo.
Ejemplo de reducción al absurdo
Demostrar por reducción al absurdo el teorema «Dos rectas a y b, paralelas a una tercera c, son paralelas entre sí»
Resolución:
Si representamos con P y Q, respectivamente, las proposiciones «Dos rectas a y b son paralelas a una tercera recta c» y «Las rectas a y b son paralelas entre sí», entonces P será la hipótesis y Q la tesis del teorema a demostrar
[math]P \longrightarrow{Q}[/math]
Ahora bien, sabemos que la demostración de este teorema puede ser sustituida por la de su equivalente
[math](P\wedge ¬Q) \rightarrow{(R\wedge ¬R)}[/math]
cuya demostración es como sigue: Si las rectas a y b son paralelas a una tercera c, y las rectas a y b no fueran paralelas entre sí, esto es, se cortaran en un punto, desde este punto podríamos trazar dos paralelas a c, lo cual es absurdo (falso).
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A. Burgos, Iniciación a la lógica matemática, Selecciones científicas, Madrid 1976, p. 52.