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(del latín numerus) En sus inicios la noción de número se asocia a la expresión de la cantidad capaz de poder comparar, contar y ordenar, más allá de las diferencias cualitativas, realidades concretas diferentes. Por ello, las primeras manifestaciones de los números son los enteros positivos (1, 2, 3, 4, 5, ...). No obstante, varios estudios antropológicos han puesto de manifiesto que en algunas sociedades primitivas (de las selvas del Brasil o entre los aborígenes de Australia, por ejemplo) se desconoce por completo la noción de número, y en otras no van más allá de las nociones de 1, 2, 3, «muchos», hecho que destaca que es una noción elaborada que debe haber surgido de forma relativamente tardía en la evolución cultural humana, aunque existen pruebas de sistemas de numeración anteriores al segundo milenio a.C.


Respecto del número son remarcables dos aspectos que fueron destacados desde la antigüedad: por una parte, el hecho de que un mismo número pueda aplicarse a conjuntos de cosas distintas y, como consecuencia de ello, el hecho de que las propiedades de las relaciones entre los números puedan valer para todas las realidades, de manera que siempre 7x 5x = 12x, sea cual sea x y, por tanto, en general, 7 5=12, donde ya no se hace referencia a ningún objeto más que a los números mismos; y, por otra parte, el que los numerales puedan tratarse como nombres propios, como si «cinco», «siete» o «doce», tuvieran alguna clase de existencia.



De ahí se infirió alguna especie de realidad propia de los objetos matemáticos, que condujo a algunos pitagóricos y a Platón a sustentar la existencia de unas entidades intermedias entre el número propiamente dicho y una especie de imágenes suyas capaces de explicar cómo, aunque solamente exista un único número 2, pueda decirse, por ejemplo, 2 2, o 3 3, como si hubiesen dos (o más) números 2 o dos (o más) números 3, etc. Además, el descubrimiento pitagórico que permitía la posibilidad de expresar con razones numéricas los intervalos concordantes de la escala musical, indujo a estos autores a pensar el número como una estructura inmanente a las cosas mismas, de modo que consideran que es constitutivo de todo lo real (ver cita ). Esta concepción probablemente proceda de la posibilidad de considerar todo lo existente a partir de un único GDPZ (arkhé) que, siendo el mismo para todo, hace que sólo pueda entenderse


la multiplicidad y diversidad de lo existente por la manera de estar estructurado. De esta manera podían sustentar que todo lo existente debe ser explicado a partir de su estructuración, la cual, en la medida en que puede expresarse matemáticamente -como lo había demostrado el descubrimiento de las razones numéricas que determinan la armonía musical- (razones 1:2, 3:2, 4:3), remite al número como fundamento, el cual, a su vez, se funda sobre la díada de lo limitado e ilimitado (impar-par) (ver cita).


Esta concepción conducirá a los pitagóricos a una mística de los números, y a la tesis ontológica que sostiene que todo se engendra a partir de los números mismos, constitutivos de todo lo real, y que tienen en la tetractys su forma mágica y sagrada. Para los pitagóricos los números engendran los puntos, éstos la líneas, que engendran las figuras planas que, en su movimiento, generan los volúmenes y los cuerpos sensibles -tesis que influirá en Platón- (ver textos ), de forma que, partiendo de esta tesis dejan de estudiar el aspecto concreto y físico de lo real para centrarse sólo en los aspectos formales de las relaciones numéricas y sus propiedades. Ahora bien, en la concepción pitagórica los números son considerados como sistema de unidades, engendrados a partir de la unidad (de la mónada combinada con lo ilimitado surgen los números, decían). Esta forma de entender el número conduce a una concepción discreta o discontinua del mundo, puesto que todo estaría formado por adiciones sucesivas.


El descubrimiento de la inconmensurabilidad de la diagonal y el lado del cuadrado

Pitágoras, lleva al descubrimiento de los números irracionales (que no tienen raíz exacta), hace entrar en crisis la concepción discreta del mundo de los pitagóricos, engendra una preocupación por entender la noción de continuidad y, al mismo tiempo, hace pensar a los filósofos griegos que la geometría es más perfecta que la aritmética.


Desde entonces se divide la matemática en dos ramas: la geometría, estudio de la cantidad continua, y la aritmética (del griego ἀριθμός «número»), que estudia la cantidad discreta. Si los pitagóricos concedían realidad ontológica a los números, la posición de Platón y Aristóteles será distinta, aunque el primero adopte muchas de las tesis pitagóricas (especialmente la concepción del número como límite de lo ilimitado y ordenador del cosmos), y sus continuadores lleguen a identificar las ideas con los números. Aristóteles afirma que los números son abstraídos de las cosas sensibles, pero no pueden separarse de ellas. Define el número como una «multiplicidad discreta» o como una «pluralidad medida o pluralidad de medidas». De esta concepción se desprende que el 1 no es propiamente un número -ya que no es una multiplicidad-, sino sólo medida del número (tampoco el 0 lo sería, aunque este número no era conocido en la antigüedad). Por ello Aristóteles, en el contexto de su estudio del tiempo, afirma que el número mínimo en sentido absoluto es la díada o el dos (ver texto ), como ya lo había señalado también en la Metafísica (ver cita ) y, en, la Física, en el contexto de su estudio de las dos clases de infinito (ver texto ).


A partir del siglo XVII se abandona todo realismo del número, y se tiende a afirmar que el número es un acto del pensamiento, fruto de una abstracción sobre las cosas sensibles. De esta manera, la especulación sobre el número deja de estar centrada en sus aspectos ontológicos para considerar fundamentalmente sus aspectos gnoseológicos o epistemológicos. De todas maneras, si en general es cierto que toda epistemología presupone una ontología, en el caso del número esto es particularmente claro ya que, a pesar de que en la época moderna se estudie el número desde una perspectiva epistemológica, muchos son los autores que creen implícitamente en alguna clase de «realidad» extramental de los números. Alrededor de la noción de número se repetirán las mismas pugnas entre el empirismo y el racionalismo.


Immanuel Kant

La posición más interesante en este período es la ofrecida por Kant. Según él, además de señalar que los juicios matemáticos son todos sintéticos (en especial los de la matemática pura son sintéticos a priori), concibe el número como el esquema puro de la cantidad, de forma que no es de origen estrictamente empírico, sino que es fruto de una operación intelectual sobre la multiplicidad que nos ofrece la intuición pura del tiempo, situándose en el plano trascendental. Así, define el número -que al igual que en el caso de Aristóteles lo estudia en relación con el tiempo-, como «la unidad de síntesis de lo diverso de una intuición homogénea en general al introducir yo el tiempo mismo en la aprehensión de la intuición» (ver texto ). De esta manera, según Kant, mientras la geometría tiene


su fundamentación en la intuición pura del espacio, la aritmética se basa en la intuición pura del tiempo. Desde su perspectiva dialéctica Hegel matiza la separación entre magnitudes continuas y discretas y define al número simultáneamente como discreto y continuo (ver cita).


Henri Bergson

Desde una perspectiva opuesta a la de Kant, Bergson señala que el fundamento del número no puede ser el tiempo, sino que es el espacio. Lo argumenta señalando que la retención y yuxtaposición de las intuiciones que permiten formar la síntesis numérica necesita del espacio, puesto que en el tiempo no es posible una yuxtaposición, sino sólo una sucesión pura instantánea. Y ésta, es distinta de la sucesión numérica que implica la conservación de la sucesión y la yuxtaposición. Por ello precisa de una localización «ideal» de los elementos de la sucesión (un «espacio ideal») (ver texto ). En esta concepción del número descansa la distinción que Bergson establece entre dos distintos tipos de multiplicidad y la concepción bergsoniana de la duración real opuesta al tiempo espacializado. A su vez, en esta oposición entre espacialidad y duración mostrada por la concepción del número (que siempre se había estudiado en relación


con el tiempo), ve Bergson el origen de una metafísica que desvirtúa toda la realidad y que privilegia una ciencia que está orientada a dominar la realidad en función de intereses sociales y biológicos, pero que está condenada a ser siempre convencionalista, y a la que en cierta medida le está vedado el verdadero conocimiento, que sólo puede proporcionar la intuición.


Jean Piaget

Por otra parte, autores como Stuart Mill defienden el carácter estrictamente empírico de los números, que sería obtenido por abstracción. A esto, los que se oponen al empirismo objetan que la posibilidad misma de la abstracción que puede conducir a la noción de número ya lo presupone. Piaget, renovando en cierta forma las tesis kantianas, considera que el número tiene una raíz empírica, pero no de la experiencia directa de las cosas, sino que deriva de la estructura del pensamiento sobre ellas y, por tanto, es fruto de una operación intelectual que no se puede confundir ni con la simple abstracción ni con la simple experiencia. Así, un niño que cuenta diez piedras y descubre que siempre son diez, aunque permute su orden, no experimenta con las piedras, sino sobre sus propias acciones de ordenación. Estas acciones enriquecen el objeto con propiedades que no


tenía por sí mismo, y pasarán a convertirse en operaciones interiorizadas, de manera que, una vez adquiridas, «ya no tendrá necesidad de experimentar para comprobar que 10 es igual a 10 independientemente del orden seguido: lo deducirá por operaciones lógicas», dice Piaget (ver texto ).


Gottlob Frege

Desde finales del siglo XIX y comienzos del XX las concepciones sobre el número reproducen diversas corrientes (formalista, logicista, intuicionista, convencionalista) que se desarrollaron sobre la fundamentación de las matemáticas. Así, autores como Frege, Whitehead, Russell o Peano, siguiendo un camino esbozado por Cantor y Dedekind, consideran el número como formado a partir de una relación biunívoca entre elementos de clases distintas. Dos clases tienen el mismo número si tienen los mismos elementos y, en general, el número se define por esta relación de correspondencia. De hecho esta definición es la establecida por Russell, quien la extrajo de los Grundlagen der Arithmetik de Frege, y textualmente la formula de la manera siguiente: el número de una clase es la clase de todas aquellas clases que son semejantes a sí misma y un número es cualquier cosa que es el número de alguna clase. Esta definición, que es aparentemente circular, no lo es en realidad, pues define


«el número de una clase dada» sin emplear la noción de número en general, razón por la cual puede definir el número en términos de «el número de una clase dada» sin caer en ningún error lógico (ver texto ).


B. Russell

Esta concepción extensional del número tenía la ventaja de permitir eliminar cualquier consideración psicologista del mismo. Es decir, para entender lo que es un número no hay que recurrir al estudio de los mecanismos psicológicos que puedan explicar su formación en un sujeto, sino que pueden definirse en términos de clases y relaciones de correspondencia entre ellas. Además, permitía expresar la noción de número y sus relaciones a través de la lógica de clases. Esta era la concepción «logicista» del número, pero algunos avances de la matemática parecían hacerla imposible, por lo que las otras corrientes (formalista, convencionalista y, sobre todo, el intuicionismo de Heyting y Brower), han dado otras concepciones del número. En esta dirección, además de Poincaré, Brower también se opuso a esta concepción reduccionista de los números a entes lógicos. Brower retomó la reflexión kantiana del número, al que también concibe como fruto de una intuición temporal.


Para él, es justamente la intuición del tiempo la que permite construir la sucesión infinita de los números naturales, el continuo y los números reales. Posteriormente se apartó de esta concepción y sustituyó la intuición temporal por la intuición de la multi-unidad, aunque siguió oponiéndose a las tendencias formalistas y logicistas.


La falta de un acuerdo pleno en la definición de esta noción permite que puedan seguir presentándose diversas interpretaciones. Por eso se afirma que más importante que una definición de número, que es problemática, es la construcción y la estructuración consistente de los sistemas numéricos.


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