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Rama de la filosofía que estudia los problemas epistemológicos que suscitan las matemáticas. A lo largo de su historia, estos problemas han hecho referencia básicamente:

1) al razonamiento matemático;
2) a la fundamentación de la ciencia matemática y
3) a la cuestión de qué tipo de entidad son los objetos matemáticos.


Desde sus orígenes, el razonamiento matemático no ha tenido nada que ver con el clásico razonamiento de la lógica aristotélica; Descartes y J. Stuart Mil, y antes Bacon, pusieron de relieve en su momento la esterilidad científica del razonamiento hecho por silogismos frente a la fecundidad y rigor del razonamiento matemático. También Kant reconoció el estancamiento de la lógica, para él cerrada y acabada, mientras que valoraba el conocimiento que aportaban las matemáticas. De los matemáticos aprendieron los epistemólogos que existían otras formas de razonamiento, distintas a las de la lógica aristotélica, por ejemplo, el razonamiento por recursividad, el más característico de los razonamientos matemáticos, también llamado inducción matemática. Pero ha sido el estudio de sus propios fundamentos lo que más ha contribuido a la reflexión filosófica sobre la matemática. Tradicionalmente, se mantenía como afirmación indiscutida que las matemáticas se fundamentaban en alguna clase de intuición. Sea entendida en sentido cartesiano o en sentido kantiano, la intuición matemática desempeña el papel fundamental de captación básica del objeto, sea el número, o el punto, la línea o la figura: los objetos matemáticos se presentan como tales a un entendimiento humano que es capaz de conocerlos y estudiarlos, como si se tratara de algún modo de formas platónicas preexistentes e independientes. Estas intuiciones se plasmaban deductivamente en axiomas, postulados, definiciones y teoremas.

Los cambios acontecidos a lo largo del s. XIX en el desarrollo de la teoría de conjuntos (Cantor) y la lógica (Boole, De Morgan), en la fundamentación de la lógica en la aritmética (Frege) y sobre todo de la geometría, en particular debido a la aparición, hacia 1825, de las llamadas geometrías no euclídeas (Lobachevsky, Riemann y otros), obligaron a un cambio de perspectiva matemática: parece más adecuado pensar que las teorías matemáticas y los objetos matemáticos son obra de la mente. Aparece así la concepción moderna de las matemáticas. A la importancia dada a los sistemas deductivos basados en última instancia en la intuición de primeros principios, enfoque que procede del mismo Euclides, que sigue en esto la concepción axiomática de la ciencia de Aristóteles, sucede la necesidad de justificar por qué se escogen determinados axiomas en vez de otros. A la noción de objeto matemático sucede, como fundamental, la de estructuras matemáticas con propiedades formales. Los axiomas se organizan en sistemas y se busca un lenguaje para expresarlos con todo rigor, de forma que se suceden intentos de formalización y axiomatización de todas las teorías matemáticas fundamentales, y aparece así el método axiomático. En lugar de la intuición y la evidencia, características tradicionales de los axiomas, se consideran fundamentales las nuevas propiedades de los sistemas formales axiomáticos: consistencia, completud, independencia, decidibilidad y satisfacibilidad. Las matemáticas buscan sus nuevos fundamentos y al «estudio de los fundamentos» de la matemática se le denomina lógica matemática. El enorme impulso inicial que supusieron, para el desarrollo de las nuevas matemáticas, los descubrimientos sobre teoría de conjuntos, en la que se basaba la fundamentación de las matemáticas, se vio amenazado por la denominada «crisis de los fundamentos», producida por la observación de contradicciones en el seno de la misma teoría.

B. Russell

La paradoja de Burali-Forti (1897) y la formulada por Russell (1901) pusieron de manifiesto la inconsistencia de la teoría de conjuntos de Cantor y la de las clases de Frege, respectivamente. La duda acerca de la solidez de los fundamentos matemáticos siguió tres vías de investigación: el logicismo, el intuicionismo y el formalismo. Puesto que las paradojas de la teoría de conjuntos eran de naturaleza lógico-matemática, Whitehead y Russell emprendieron la reforma de la lógica con su obra conjunta Principia Mathematica (1910-1913). En ella se halla la teoría de los tipos, con la que Russell logra demostrar la consistencia del álgebra y la aritmética de clases. La distinción de distintos niveles de lenguaje, iniciada por Russell y completada por Tarski y Carnap, permitió resolver paradojas semánticas.

El logicismo persiguió como objetivo la fundamentación de la matemática en la lógica. Este planteamiento no fue del agrado de muchos matemáticos, que consideraron que las matemáticas comprenden algo más que la lógica matemática, o estudio de sus fundamentos, y la atención se dirigió al estudio de los sistemas formales axiomáticos mismos, es decir, a su formalización: el formalismo, iniciado por Hilbert, pretende demostrar la consistencia de un sistema axiomático (de la matemática) desde fuera del sistema (desde la metamatemática). La metamatemática de Hilbert, el denominado programa formalista, aspiraba a construir una teoría desde la cual pudiera demostrarse la consistencia, la completud, y la decidibilidad de un sistema axiomático (su objetivo concreto era probar la consistencia de la aritmética elemental). K. Gödel sostuvo, en 1931, con el teorema de la incompletud, que un sistema axiomático de aritmética elemental no era completo, si era consistente, o que no podía probarse la consistencia de un sistema de aritmética elemental que fuera completo. Lo cual equivale a decir que la consistencia de un sistema debe probarse siempre desde otro sistema. La tercera vía de investigación sobre los fundamentos, el intuicionismo de Brouwer, se centró en los defectos de lo que se daba por supuesto en los fundamentos y en las mismas demostraciones matemáticas: se aceptaban gratuitamente, a su entender, conjuntos infinitos y principios, como el del tercero excluxo, base de la lógica bivalente, que no pueden considerarse universalmente verdaderos. El principio fundamental del intuicionismo es que todo objeto matemático, en oposición a los residuos de platonismo que existen aún en el formalismo, es algo construido por la mente humana y que sólo debe aceptarse aquello cuya demostración sea posible. Las críticas de Brouwer dieron paso al desarrollo de nuevas lógicas no clásicas: trivalentes y polivalentes (Tarski, Lukasiewicz, Reichenbach).



Bibliografía sobre el concepto

  • Hempel, C.G. (ed.), Matemática, verdad, realidad. Grijalbo, Barcelona, 1969.