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Cálculo lógico introducido por E.B. Beth (1955), y adaptado por otros autores, como J. Hintikka y R. Smullyan, como procedimiento para decidir si una fórmula es válida o no. Pertenece a los sistemas formales sintácticos (que no recurren al significado o interpretación de sus símbolos), y se basa fundamentalmente en la propiedad de inconsistencia entre enunciados y en que un razonamiento inválido posee por lo menos un contraejemplo.

Según este cálculo, la secuencia [math]A_1, A_2, A_n[/math], por tanto [math]B[/math]
es un razonamiento válido si y sólo si su contraejemplo,
[math]A_1, A_2, A_n[/math], por tanto [math]no-B[/math], es inconsistente.

Si se quiere construir una deducción, se escribe (como no-B) la negación de la conclusión; si lo que se quiere probar es si una única fórmula es válida, o tautológica, se escribe (como no-B) su negación.

Se estructura a modo de árbol invertido, y de ahí su nombre, formado por un conjunto finito de fórmulas; las que componen el conjunto de premisas y la negación de la conclusión constituyen el tronco; las derivaciones de éstas según las reglas del método de árboles forman las ramas.

Se aplica una regla cuando se transforma una fórmula dada en sus componentes, según determina la definición de la regla. Cuando no hay más fórmulas que descomponer, se acaba la ramificación del árbol. Entonces, aparecen dos posibilidades:

1) que una(s) rama(s) (o todas) esté(n) cerrada(s): una rama está cerrada cuando en su ramificación (en su línea) ha aparecido una contradicción; cosa que se indica con una X.
2) que alguna rama (o todas) quede abierta: una rama está abierta cuando en ella no aparece ninguna contradicción. Esto indica que existe alguna asignación de valores que satisface (hace verdadera a) la conclusión.


Una fórmula queda demostrada (sea una fórmula tautológica, sea la conclusión de una deducción) cuando del árbol puede cerrar (marcando con X) todas sus ramas. El procedimiento demuestra que la negación de la fórmula que se quiere deducir no es consistente, para cualquier valor, con el resto de premisas, o que la negación de la fórmula cuyo valor se analiza es contradictoria para cualquier valor asignado a sus letras de enunciado.

Un árbol se compone, por tanto, de las premisas propuestas y de la negación de la conclusión supuesta; de distintas aplicaciones de las reglas de transformación y de las expresiones lógicas finales, cerradas (con X) o abiertas.

Las reglas del método de árboles, para la lógica de enunciados, son las siguientes:

4041.png

Ejemplos:

1. Derivar s del siguiente conjunto de fórmulas

[math](p\wedge ¬q)\rightarrow{s}, (q\rightarrow{r}), (p\wedge r) \vdash s[/math]

que puede ser la formalización del siguiente razonamiento:

«Si Ana canta y Raúl no toca el piano, Ana desafina. Pero Raúl sólo

toca el piano si Berta no está presente. Ana canta y Berta está presente.

Por tanto, Ana desafina»

4041B.png

2. Para las tautologías,

Ejemplo 1

Sea la tautología [math]q\rightarrow{(q\vee t)}[/math]

Su árbol lógico es:

2307S.png

Por consiguiente, si [math]¬[q\rightarrow{(q\vee t)}][/math] es una contradicción, [math]q\rightarrow{(q\vee t)}[/math] es una tautología.


Ejemplo 2

Todo lo que agrada o es ilegal, o inmoral o engorda. Tomarse un helado es agradable. Tomarse un helado no es ilegal ni inmoral. Por tanto, tomarse un helado engorda.

Su formalización es:

2315E.png


Ver árboles lógicos, en lógica de enunciados y lógica de predicados.